2000年北京大学研究生入学考试——概率统计与线性规划试题
一、（8分）假设事件A与Bi（i＝1，2，．．．，n）相互独立，其中B1，B2，．．．，Bn两两不相容。证明A的补集与B1＋B2＋．．．＋Bn相互独立。
二、（10分）已知随机变量X的分布函数为
试求将X标准化之后得到的变量Y（即Y＝（X－μ）/σ，其中μ 和σ分别表示X的期望和标准差）的分布函数。
三、（12分）设（X，Y）的联合密度函数为
其中，c是某个待定常数。
试求：1、P｛X＋Y＞1｜X>0}；
2、X与Y是否相互独立。
四、（8分）在某个公共汽车站一小时内等候的人数服从泊松（Poisson）分布，根据以往大量的随机观测平均每小时有36．73人候车，请问一小时内最可能在此车站候车的人数是多少？
五、（12分）设总体服从区间[0，θ]上（θ＞0）的均匀分布，X1，X2，．．．，Xn是从中抽取的一个简单随机样本。
试求：1、θ的最大似然估计；
2、θ的一个置信度为1－α 的置信区间（α >0）。
六、（10分）某个厂家生产的10件产品中次品的个数未知。甲从中有放回地抽取了n次，结果没有抽到次品，并由此接受这10件产品中没有次品的假设。请甲可能会犯什么类型的错误？为了使得甲犯该类型错误的最大概率不超过60%，他至少需要抽取多少次？
八、（6分）试证明：若线性规划有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
九、（12分）线性规划的目标函数是Max z，在用标准的单纯型法求解的过程中，得到下表（其中a，b是常数，部分数据有缺失）：
|
C
|
2
|
5
|
8
|
0
|
0
|
0
|
||
|
Cb
|
Xb
|
B
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
X5
|
X6
|
|
|
X6
|
20
|
0
|
|
3
|
|
0
|
|
|
|
X2
|
B
|
A
|
|
|
|
1/2
|
|
|
|
X4
|
8
|
－2
|
|
－1
|
|
1
|
|
|
Cj－Zj
|
|
|
|
－2
|
|
|
|
|
1）在答卷纸上画出此单纯型表，并在所有空格中填上适当的数（其中可含参数a，b）。
2）判断以下四种情况在什么时候成立，并简要说明理由。
（1）此解为最优解？请写出相应的基解和目标函数值。
（2）此解为最优解，此规划又有无穷多最优解？
（3）此规划有无界解？
（4）此解不是最优解，且能用单纯型法得到一下一个基解。
十、（12分）某地区有三个煤矿，专供四个城镇之用。已知各煤矿与各城镇之间的运输费用矩阵如下（单位：元/吨）：。已知三个煤矿的产量分别为25000吨，18000吨，17000吨；四个城镇的需求量分别为12000吨，15000吨，18000吨，24000吨。若不能满足需求，各城市的最低需求分别为8000吨，10000吨，12000吨，15000吨。
（1）试建立使本地区四城镇煤炭运费最小的线性规划模型。
（2）写出此线性规划的对偶规划。
以上是：2000年北京大学研究生入学考试——概率统计与线性规划试题，希望对考生有所帮助。
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