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1999年中科院计算机技术研究所硕士生入学试题（离散数学）

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　　一．（8分）求与公式

　　x3逻辑等值的主合取范式和主析取范式．

　　二．（8分）判断下列各公式是：1．永真式2．永假式3．其它

　　（1）（p－>（q－>r））－>（q－>（p－>r））

　　（pand（pandq））

　　（3）（notporq）andnot（qornotr）andnot（rornotpornotq）

　　（porq）

　　三．（9分）问

　　existyanyxP（x，y）是否谓词演算的有效式?证明你的结论．

　　四．（9分）将下列推理符号化并给出形式证明：

　　鸟会飞，猴子不会飞；所以，猴子不是鸟．

　　五．（12分）令X＝{x1，x2，．．．，xm}，Y＝{y1，y2，．．．，yn}，问：

　　（1）有多少不同的由X到Y的关系?

　　（2）有多少不同的由X到Y的影射?

　　（3）有多少不同的由X到Y的单射，双射?

　　六．（8分）设e是奇数阶交换群G的单元位，试证：G的所有元素之积为e．

　　七．（15分）①是个群，H，K是其子群，在G上定义二元关系R：

　　存在h，kink，使得b＝h*a*k，证明：R是G上的等价关系．

　　②在①中，若|H|＝m，|K|＝n，|G|＝mn，m与n互素，且R的某个等价类在G的乘法

　　运算下构成G的一个子群，则R＝G*G．

　　八．（8分）把平面分成β个区域，每两个区域都相邻，问β最大为几?

　　九．（11分）设G为非平凡有向图，V（G）为G的结点集合，若对V（G）的任意非空子集S，

　　G中起始结点在S中，终止结点在V（G）S中的有向边都至少有k条，则称G是k边

　　连通的．证明：非平凡有向图G是强连通的充要条件是他是1边连通的．

　　十．（12分）设G是一无向加权图且各边的权不相等，V，E分别是G的结点集合和边的集合，

　　（V1，V2）是V的划分，即V1orV2＝V，V1andV2＝null，且V1！＝null，V2！＝null，则V1与V2

　　间的最短边一定在G的最小生成树上．

　　以上是：1999年中科院计算机技术研究所硕士生入学试题（离散数学），希望对考生有所帮助。

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