【考试大纲】2020考研数学三大纲原文

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2020考研数学三大纲原文

微积分

  一、函数、极限、连续

  考试内容

  函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数函数关系的建立，数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：

 

  函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质

  考试要求

  1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系

  2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性

  3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念

  4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念

  5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念

  6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法

  7．理解无穷小量的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系

  8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型

  9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质

  二、一元函数微分学

  考试内容

  导数和微分的概念，导数的几何意义和经济意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数和隐函数的微分法，高阶导数一阶微分形式的不变性，微分中值定理，洛必达（L'Hospital ）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的值与最小值

  考试要求

  1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程

  2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐两数的导数

  3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数

  4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分

  5．理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，掌握这四个定理的简单应用

  6．会用洛必达法则求极限

  7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、值和最小位的求法及其应用

  8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间（a，b）内，设函数f（x）具有二阶导数，当f"（x）>0时，f（x）的图形是凹的；当f"（x）<0时，f（x）的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线

  9．会描述简单函数的图形

  三、一元函数积分学

  考试内容

  原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中位定理，积分上限的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨（Newton－Leibniz ）公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，反常（广义）积分，定积分的应用

  考试要求

  1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式．掌握不定积分的换元积分法与分部积分法

  2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一菜布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法

  3．会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题

  4．了解反常积分的概念，会计算反常积分

  四、多元函数微积分学

  考试内容

  多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上二元连续函数的性质，多元函数偏导数的概念与计算，多元复合函数的求导法与隐函数求导法，二阶偏导数，全微分，多元函数的极值和条件极值、值和最小值，二重积分的概念、基本性质和计算，无界区域上简单的反常二重积分

  考试要求

  1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义

  z．了解二元函数的极限与连续的概念．了解有界闭区域上二元连续函数的性质

  3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数．会求全微分，会求多元隐函数的偏导数

  4．了解多元函数极值和条件极值的概念．掌握多元函数极值存在的必要条件．了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的值和最小值．并会解决简单的应用问题

  5．了解二重积分的概念与基本性质。掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算

  五、无穷级数

  考试内容

  常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与P级数及其收敛性，正项级数收敛性的判别法，任意项级数的收敛与条件收敛，交错级数与莱布尼茨定理，幕级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幕级数的和函数，幕级数在其收敛区间内的基本性质，简单幕级数的和函数的求法，初等函数的幕级数展开式

  考试要求

  1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念

  2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法

  3．了解任意项级数收敛与条件收敛的概念以及收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法

  4．会求幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域

  5．了解幕级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幕级数在其收敛区间内的和函数

  6．了解e^x，sinx，cosx，ln（1＋x）及（1＋x）^a的麦克劳林（Maclaurin）展开式