应用统计学笔记——卡方检定

  本章是推论多项分布母体的母数，较实际的说法是推论二组以上独立样本的母数，重点是推论独立样本的适合度（test of goodness of fit）、独立性（test of independence）或齐一性（test of homogeneity）。

 

  在多项分布的情况下，其数据是得自类别或序位量度尺度的性质数列，通常是利用点计的次数来表示结果，或利用分组数据在各组出现的次数，换句话说，经过整理的数据是以次数分配表的型态出现，其推论的重点是推论独立样本所显现的特性是否符合理论值，或符合想象中的分布型态，这种目的的推论称为适合度检定（test of goodness of fit）。

 

  如果是推论独立样本间所显现的特性是否有相关性，这种目的的推论就称为独立性检定（test of independence）。

 

  如果是推论独立样本间所显现的特性是否有一致或相似性，这种目的推论就称为齐一性检定（test of homogeneity）。

 

  而这些检定都是次X2分布当作推论依据，所以统称为卡方检定（X2 test 或 Chi－square test）。卡方检定的每组样本最好皆大于5，否则就必须考虑合并或利用其他适当方法，以降低误差。卡方检定不必考虑母体是否常态分布或其他特定分布，所以是属于无母数检定法中的一种最常用检定法。

 

  卡方适合度检定：

 

  卡方适合度检定适合时机：

 

  卡方适合度检定（chi－square goodness－of－fit test）主要是推论单一多项母体里，类别随机变项所占的百分比或机率的分布情形，例如是否符合常态分布，或其他特殊型态的分布，或与某特定分布的情形是否相同等。

 

  多项母体的每一个类别随机变项皆视为一个独立的小母体（分层）。

 

  每一个类别随机变项样本出现的次数或频率（frequency），原则上不得少于5个（次），期望值也不得少于5个（次）。如果少于5个（次），则可行的方法是考虑用合并的方法，使其达到5个（次）以上。

 

  卡方适合度检定的步骤：

 

  选定显著水平α，通常由0．01、0．05和0．1三者中择其一，习惯上是选择0．05。

 

  设定多项母体随机变项的分布型态。

 

  只能使用X2分布的右尾检定，建立对应的虚无假设H0和对立假设H1，其型态如下：

 

  H0：符合某种特殊分布形态。

 

  H1：不符合某种特殊分布形态。

 

  由样本搜集得到，且经过整理的数据，依据随机变项或分组组数k，算出各项或各组出现的样本数或次数Oi，或计算各项或各组样本数或次数出现的百分比或机率Pi，i ＝ 1，2，…，k。

 

  依据步骤2所设定多项母体随机变项的分布型态，算出各项或各组的机率值Pi或期望值Ei：

 

  Ei ＝ nPi  n是样本总数。

 

  将各项或各组出现的样本数或次数Oi，各项或各组的期望值Ei，代入下列公式：

 

  

 

  df ＝ k – 1

 

  得到的值。上式称为Pearson近似式也可以用机率值计算。

 

  查表得到大于而df＝k－1的机率函数值，也就是而df＝k－1的机率值。

 

  依据所选定的显著水平α、X2分布和右尾检定，查表得到临界值U（critical values）并订出接受区或拒绝区。由于X2分布是单峰右偏分布，在显著水平α的情况下，右尾检定临界值U是：

 

  

 

  如果的值或其对应的机率函数值在接受区，则接受虚无假设H0；如果在拒绝区，则拒绝虚无假设H0，接受对立假设H1。X2右尾检定的决策法则，也就是拒绝虚无假设H0的条件是：   

 

  依据所接受虚无假设H0或对立假设H1的条件作成结论。

 

  第七章 变异数分析

 

  变异数分析（Analysis of Variance，ANOVA），其分析的重点并不在于检验?变异数?。究其功能，其实是平均数检定的一种延伸技术，主要是用来检验二组以上样本平均数的一种方法。所以严格说来，变异数分析应当称为多元平均数检定（multiple mean hypothesis testing）方法，或许会更恰当些。

 

  变异数分析内容：

 

  一因子单变量变异数分析（one－factor ANOVA）与多元比较（multiple comparisons）。

 

  多因子单变量变异数分析（multi－factor ANOVA）以及其交互作用（interactions）的探讨与回顾。

 

  多变量一因子变异数分析（one－factor MANOVA）与多元比较部分。

 

  多变量多因子变异数分析（multi－factor MANOVA）以及其交互作用。

 

  因子（factor）是用来分析或区隔我们想要观测的依变量所使用的?解释?或?控制?方法（treatment）。这些因子的出现，其特性往往都是一种不连续的观测值。举例而言，例如我们对于人类身高（观测变量1）或者体重（观测变量2）的测度，试问是否可以使用一些其他的解释变量，来解说人类身高的差异现象?于是想到，我们或许可以使用性别（解释变量1）、或者人种（解释变量2）、或者血型（解释变量3）来作人类身高差异上的说明。值得注意的是，这些解释变量（因子）都不是连续的，而是类别式（categorical）的性质，或称为名目尺度（nominal scale）。

 

  所以或许可以这么说，变异数分析的基本想法在于将一群抽样的样本数据，依据某种标准划分成数个群组，其中作为分群的依据，称之为因子。至于分析几个不同的群组或水平（level），称之为?处理?（treatment）。如果仅使用?性别?一项，来解释人类在?身高?上的差异时，依据?性别?这样的分群方式称之为?因子?，区隔之后的子群体：?男性?与?女性?，称之为?处理?。

 

  一因子单变量变异数分析－以前述例子是使用单一因子（性别），来分析单一变量（身高）的分析方式。

 

  二因子单变量变异数分析－同时使用?性别?与?人种?二者，共同来解释单一变量（身高）的分析方式。

 

  多因子单变量变异数分析－由此类推我们可以持续增加许多其他可以解释身高的因子，例如加上?年龄?、?基因?、?营养?、?环境?、?运动量?等等多种因素，用来解释人类在身高这单一变量上的差异之处。这时由于使用解释因子不是只有一两个，这种方法即称之为?多因子单变量变异数分析?。

 

  暂且不论因子的个数多寡，由于所需要分析的观测变量一直只有一个（身高），所以这一类的分析方法，将一直维持在单变量变异数分析的范畴之内。

 

  但是，倘若有人想要?同时衡量?人类的身高与体重二者，在不同的情况之下有何差异，这样的想法，将脱离单变量的范畴，因为这时所衡量的依变量已经不只有一个，而是?同时衡量?身高与体重二者。

 

  一因子多变量变异数分析－我们使用单一的解释变量（例如性别），来同时衡量?身高?与?体重?二者。

 

  二因子多变量变异数分析－同时使用二个解释变量?性别?、?人种?，来衡量?身高?与?体重?二者。

 

  多因子多变量变异数分析－如果使用更多的解释变量，来同时分析?身高?与?体重?二者。

 

"'>）。人为误差包含调查（实验）员和被调查（实验）者所引起的误差。测量仪器的误差可以经由提高测量仪器的精密度而改善。非抽样误差出现的机会愈高，量度结果的精度愈低。精度是指对相同样本重复量度时，结果的差异程度，也就能得到正确量测答案的程度，又称为效度（validity）。

 

  原始资料的整理：整理的方法有二种，分别是人工整理法和计算机整理法。

 

  原始资料的分类：数据报含文字数据和数字数据，而且数据通常与时间、地区或空间有关，因此，整理数据时，必须依据简单化和系统化的原则，按照数据的特性，分别依序排列成一串数字，称为

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