应用统计学笔记——统计量

  利用统计图、表和统计量来显示和描述样本数据特性的方法，称为叙述统计学或描述统计学（Descriptive Statistics），而叙述统计学是推论统计学的基础，换句话说，必须先算出统计量，少能据以推论相关的母数。统计量如何显现样本的特性，这必须从原始数据着手。分析和观察所搜集的原始数据后，发现原始数据通常可以用二种具体方式来描述其特性：集中趋势（central tendency）是位置的测量和离散趋势（dispersive tendency）是散布的测量。通常利用原始资料的本质，分别定义出一个具有代表性的统计量，用以说明集中趋势和离散趋势的具体情形。定义和计算出统计量的过程和方法，称为统计量的测量（measure）或统计量的计算。

  数学运算符号：求总和的数学符号是Σ（sigma），求总乘积的数学符号是Π（pi）

  如果看到ΣX则表示   i ＝ 1，2，3，…．，n

  如果看到ΠX则表示   i ＝ 1，2，3，…，，n

  位置的测量：每次考试，在正常的情况下，高分占少数，低分也占少数，大部份人是集中在中间分数，身高、体重、所得和消费额都有这种情况，而这些都是常见的统计资料。可见原始资料的量度值，会向某一中间值集中，这种特性称为中心趋势或集中趋势（central tendency）。但中间值的范围大小不一，难以界定，因此找出其中心位置（central location）的中心值，当作集中趋势或中间值的代表值，这中心值在统计上称为集中趋势量数（measures of central tendency）、中心位置量数（measures of central location）或平均数（means or averages）。常用的集中趋势量数有算术平均数（arithmetic mean）、加权平均数（weighted mean）、几何平均数（geometric mean）、中位数（median）和众数（mode）等。

  算术平均数又称样本平均数（arithmetic mean）：从样本得到的量度值，其出现的机率或所占的份量是相同的，在这种状况下，通常会将量度值平均分配，每个样本会分配到相同的数值，这数值称为算数平均数，简称平均数，通常位于量度值的中心位置，是最常用的集中趋势量数。算术平均值是在均匀分配情况下，得到的中心值，如果数据中出现异常的极大值或极小值时，算术平均值会偏离正常的中心位置，产生误差，因而影响其代表性。操作型（计算上）的定义是：将所有量度值X的总和ΣX，除以样本数n，得到的商称为算数平均数，写成公式是：

  例题：利用便利抽样法，在夜市的面摊访问10个消费者，其消费额分别是3，65，46，78，82，60，70，50，66和95元，求其平均消费额（算术平均数）。

  答：平均消费额

  加权平均数（eeighted mean）：如果从样本得到的量度值，其出现的机率或所占的份量是不相同的，在这种情况下，必须先依据各量度值出现的机率或份量定出权数w（weighted number），再求出权数的平均值，而不是样本的平均数，这种平均数称为加权平均数。如保险费会随年龄或职业的不同，而有不同的保费，年龄或职业是权数；成绩会随着平时成绩、期中成绩和期末成绩所占比例的不同而改变，所占比例是权数；学期总平均成绩会随学分数不同而改变，学分数是权数；计算各种机率分布的期望值或变异数，会随量度值的出现机率而改变，出现机率是权数。。操作型（计算上）的定义是：将各量度值x，分别乘其权数w，算出各乘积的总和Σwx，再除以权数的总和Σw、得到的商称为加权平均数，

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