天津职业技术师范大学理学院2023年硕士研究生入学考试大纲及参考书目

天津职业技术师范大学理学院2023年硕士研究生入学考试大纲及参考书目

2023年研究生入学考试大纲 － 数学分析

  考试的基本要求：

  要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生具有逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

  考试内容和考试要求：

  一、极限理论

  考试内容

  数列极限和函数极限的概念和收敛的基本性质 四则运算 收敛准则

  连续函数定义性质 闭区间上连续函数的性质

  考试要求

  1．数列极限 理解数列极限的 定义，掌握收敛数列的基本性质及数列收敛的条件，掌握极限 及其应用。

  2．函数极限 理解各种类型的一元函数极限的定义（ 、 语言），掌握函数极限的基本性质、归结原则和柯西收敛准则，掌握两个重要极限 ， 及其应用，熟练掌握求函数极限的各种方法，掌握无穷小量与无穷大量阶的比较。

   3．函数的连续性 理解函数连续与间断的概念及一致连续性概念。理解连续函数的局部性质。掌握有界闭集上连续函数的性质（有界性、最值性、介值性、一致连续性）。

  二、一元函数微分学

  考试内容

  导数和微分的定义高阶导数 导数和微分的四则运算 复合函数的求导

  中值定理 洛比达法则，泰勒公式 函数的几何形状

  考试要求

  1． 导数与微分 理解函数在某一点导数与微分的准确定义。掌握连续、可导与可微的关系。掌握导数各种形式的计算方法，掌握一阶微分形式不变性。

  2．微分学基本定理及其应用 理解掌握罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式（Peano余项与Lagrange余项）及应用。熟练掌握洛比达法则求极限。掌握函数单调性判别法，极值、最值、曲线凹凸性讨论。

  三、一元函数积分学

  考试内容

  定积分的定义和几何意义 不定积分和定积分的计算 微积分基本定理 变限积分反常积分

  考试要求

  1．不定积分 理解原函数与不定积分概念，掌握不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法），会求简单有理函数积分。

  2．定积分 理解定积分概念与几何意义，掌握定积分性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）及应用。理解变上限积分函数，掌握微积分基本定理，掌握牛顿－莱布尼兹公式及定积分计算，掌握定积分第二中值定理应用。

  3． 广义积分 理解掌握无穷积分概念、柯西收敛准则、绝对收敛与条件收敛。掌握 非负时 的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）。掌握阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。掌握无界函数广义积分概念及其收敛性判别法。

  四、数项级数和函数项级数

  考试内容

  数项级数的收敛性判别法 绝对收敛条件收敛函数项级数一致收敛性判别法

  幂级数 傅里叶级数

  考试要求

  1．数项级数 掌握级数及其敛散性，掌握柯西准则及收敛必要条件，理解收敛级数基本性质。掌握正项级数收敛的充要条件及比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式。掌握交错级数的莱布尼兹判别法，掌握一般项级数的绝对收敛、条件收敛性，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法。

  2．函数项级数 理解函数列与函数项级数的一致收敛性，掌握一致收敛性判别法（魏尔斯特拉斯 －判别法、阿贝尔判别法及狄利克雷判别法）及柯西收敛准则。掌握函数项级数的性质及其应用。

  3．幂级数 掌握幂级数概念及收敛半径与收敛域。掌握阿贝尔定理。掌握幂级数的逐项可积性、可微性及其应用。掌握和函数及其求法。掌握函数展开成泰勒级数、麦克劳林级数。

  4． 傅里叶级数 理解三角级数、三角函数系的正交性。掌握以2 、2 为周期的周

  期函数的傅里叶级数展开。掌握函数展开成正弦级数及余弦级数。理解掌握收敛性定理。

  五、多元函数微分学

  考试内容

  多元函数的极限 二元连续函数 偏导数 可微 高阶偏导数 拉格朗日乘数法隐函数定理

  考试要求

  1．偏导数与全微分 理解掌握偏导数、全微分定义及其几何意义，掌握可微与偏导存在、连续之间的关系，掌握复合函数的偏导数与全微分。掌握方向导数与梯度定义及求法，会求高阶偏导数。

  2．隐函数定理与微分的应用 理解隐函数存在定理及隐函数组存在定理，掌握隐函数及隐函数（组）求导方法。掌握几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）。掌握极值问题研究（必要条件与二元极值的充分条件），会用拉格朗日乘数法求条件极值。

  六、多元函数积分学

  考试内容

  重积分的定义及几何意义变量代换 极坐标球面坐标和柱面坐标 第一、二型曲线积分

  第一、二型曲面积分 格林公式 高斯公式

  考试要求

  1．重积分 理解二重积分概念及其几何意义，掌握二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）。理解三重积分概念，掌握三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）。重积分的应用（体积、曲面面积、重心等）。

  2．曲线积分与曲面积分 理解第一型曲线积分、曲面积分的概念及基本性质。掌握第一型曲线积分、曲面积分计算方法。理解第二型曲线积分概念及性质，掌握第二型曲线积分计算。掌握格林公式内容及应用，理解平面曲线积分与路径无关的条件。掌握曲面的侧、理解第二型曲面积分的概念及性质，掌握第二型曲面积分计算，掌握高斯公式内容及应用。

  七、含参变量积分

  考试内容

  含参变量积分的定义含参变量积分与函数项级数的关系 含参变量反常积分的一致收敛性

  考试要求

  1．掌握含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性。

  2．掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法（魏尔斯特拉斯 －判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法），含参量反常积分的连续性、可微性、可积性。

  主要参考书目：

  《数学分析》，华东师范大学数学科学学院编，2019年5月第5版，高等教育出版社

2023年研究生入学考试大纲 － 高等代数

  考试的基本要求：

  要求考生系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

  考试内容和考试要求：

  一、多项式理论

  考试内容

  多项式的相关概念和基本性质 一元多项式的带余除法 最大公因式的性质

  不可约因式和多项式唯一分解定理

  考试要求

  1．理解和掌握基本概念，如整除、不可约性、互素、重因式等，熟悉一元多项式最大公因式的性质，知道多项式在复数域、实数域及有理数域上分解的特殊性。

  2．熟悉带余除法和辗转相除法，准确理解多项式唯一分解定理，能够理解和运用余数定理和重因式判定定理。

  3．理解高斯（Gauss）引理，能够运用艾森斯坦（Eisenstein）判别法判定整系数多项式在有理数域上的不可约性。

  4．理解代数基本定理，能够在不同数域上进行多项式的不可约因式分解。

  二、行列式

  考试内容

  行列式的概念和基本性质 行列式计算行列式按行（列）展开定理行列式的乘法法则

  考试要求

  1．理解行列式的概念，掌握行列式的性质、行列式的乘法法则。

  2．会应用行列式概念和基本性质计算行列式，能够熟练掌握行列式按行（列）展开定理，能够计算一些经典类型的行列式。

  三、向量和矩阵

  考试内容

  向量的线性组合和线性表示 向量组的等价 向量组的线性相关与线性无关

  向量组的极大线性无关组向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

  矩阵的概念 矩阵的基本运算 矩阵的转置 伴随矩阵 逆矩阵的概念和性质

  矩阵可逆的充分必要条件 矩阵的初等变换和初等矩阵 矩阵的秩

  矩阵的等价 分块矩阵及其运算

  考试要求

  1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。

  2．理解向量组线性相关、线性无关的定义、熟练掌握判断向量组线性相关、线性无关的方法。

  3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。

  4．理解向量组等价的概念、清楚向量组的秩与矩阵秩的关系。

  5．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，熟悉它们的基本性质。

  6．掌握矩阵的数乘、加法、乘法、转置等运算。了解方阵的多项式概念。

  7．理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的判别条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。

  8．掌握矩阵的初等变换、初等矩阵的性质和矩阵等价的条件，理解矩阵的秩的概念，了解矩阵的秩与行列式的关系。了解矩阵乘积的秩与因子矩阵的秩的关系，了解n阶方阵非退化的概念及充分必要条件，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

  9．熟悉分块矩阵及其运算。

  四、线性方程组

  考试内容

  线性方程组的克拉默（Cramer）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件

  非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构

  齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间及其维数 非齐次线性方程组的通解

  考试要求

  1．会用克拉默法则求解线性方程组。

  2．掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

  3．熟练掌握齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。

  4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。

  5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

  五、双线性函数与二次型

  考试内容

  线性函数与双线性函数 度量矩阵 矩阵相合的概念及性质

  对称（反称）双线性函数与对称（反称）矩阵 惯性定理标准形和典范形

  二次型 非奇异线性替换 正定性的等价命题

  考试要求

  1．掌握双线性函数的矩阵表示，二次型与双线性函数的关系，二次型及其矩阵表示。

  2．理解非奇异线性替换与矩阵相合的概念、性质，及其相互关系。

  3．熟练掌握二次型的标准形、秩、典范型的概念以及惯性定理。

  4．会用矩阵法或配方法化二次型为标准形。

  5．掌握对称双线性函数（二次型、实对称矩阵）正定的概念及性质，掌握正定性的判别方法。

  六、线性空间

  考试内容

  集合与映射的基本概念 线性空间的概念与基本性质 线性空间的维数

  基与向量的坐标 线性空间中的基变换与坐标变换 过渡矩阵

  线性子空间及其运算 线性空间的同构

  考试要求

  1． 熟悉集合与映射的概念。

  2． 理解线性空间的概念掌握线性子空间的判定方法。

  3． 掌握线性空间的维数、基和坐标等基本概念和性质。

  4． 掌握线性空间的基变换公式和坐标变换与过渡矩阵的关系。

  5． 理解生成子空间的概念，掌握求子空间基和维数的方法。

  6． 掌握子空间的交、和、直积运算及其性质。

  7． 了解线性空间同构的概念，了解同构映射的性质。

  七、线性变换，矩阵的特征值和特征向量

  考试内容

  线性变换的概念和简单性质 线性变换的运算 线性变换的矩阵

  线性变换（矩阵）的特征值、特征向量和特征子空间 线性变换的特征多项式

  矩阵相似的概念及性质 矩阵可对角化的充分必要条件

  线性变换的值域与核 线性变换的不变子空间

  考试要求

  1． 掌握线性变换的概念、基本性质及运算。

  2． 理解线性变换的矩阵，了解线性变换与矩阵的对应关系。

  3． 掌握线性变换及其矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念及性质，能够熟练地求解线性变换及矩阵的特征值和特征向量。

  4． 了解关于特征多项式的Hamilton－Cayley定理，了解矩阵的迹。

  5． 把握线性变换的特征子空间、线性变换的不变子空间的概念。

  6． 掌握矩阵相似的概念、性质及矩阵可对角化的充分必要条件。熟悉将矩阵化为对角矩阵的方法。

  7． 理解线性变换的值域、核、秩、零度的概念。

  八、欧几里德空间

  考试内容

  线性空间内积的定义及其性质 欧几里德空间的概念 标准（规范）正交基

  施密特（Schmidt）正交化过程  正交矩阵正交变换及其性质

  正交子空间正交补及其性质 实对称矩阵的特征值 特征向量及相似对角矩阵

  欧几里德空间的同构

  考试要求

  1． 掌握线性空间内积、向量的正交、欧几里德空间等基本概念及性质。

  2． 理解正交变换和正交矩阵的关系，欧几里德空间中过渡矩阵的特殊性。

  3． 理解和掌握标准（规范）正交基的概念，掌握标准（规范）正交基的求法（施密特正交化过程），了解标准正交基下度量矩阵、向量坐标及内积的特殊表达。

  4． 掌握正交矩阵的概念及性质，了解正交矩阵与标准正交基的过渡矩阵之间的关系。

  5． 理解和掌握正交变换的概念及其性质，了解正交变换和正交矩阵之间的关系。

  6． 理解正交子空间、正交补的概念及性质。

  7． 熟练掌握对称矩阵的特征值和特征向量的特殊性质，对给定的实对称矩阵能够进行正交对角化。

  8． 了解欧几里德空间同构的概念和性质，以及同构的充分必要条件。

  主要参考书目：

  1． 《高等代数与解析几何（第二版）》，陈志杰编著，2008年12月，高等教育出版社

  2． 《高等代数（第五版）》，北京大学数学系前代数小组编，王萼芳 石生明修订，2019年5月，高等教育出版社